Formulario de Matemáticas

Unidad 0 Antes de empezar

Jerarquía

1 paréntesis → 2 potencias y raíces → 3 × y ÷ (de izquierda a derecha) → 4 + y −

-2^2 = -4

pero

(-2)^2 = 4

Potencias

a^m a^n

= a^{m+n}

\frac{a^m}{a^n}

= a^{m-n}

(a^m)^n

= a^{mn}

a^0

= 1

a^{-n}

= \frac{1}{a^n}

a^{m/n}

= \sqrt[n]{a^m}

Factorización

Siempre primero el factor común.

a^2 - b^2

= (a+b)(a-b)

a^2 \pm 2ab + b^2

= (a \pm b)^2

x^2 + bx + c

= (x + p)(x + q)

p\,q

= c,\ p + q

= b

x

= \frac{-b \pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Unidad 1 Geometría analítica

La recta

m

= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

= \tan\theta

punto-pendiente	$y - y_1 = m(x - x_1)$
explícita	$y = mx + b$
general	$Ax + By + C = 0$
pendiente	$m = -\tfrac AB$
interceptos	$\tfrac xa + \tfrac yb = 1$

Posiciones y distancias

Paralelas

m_1 = m_2

· perpendiculares

m_1 m_2 = -1

d

= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

M

= \left(\tfrac{x_1 + x_2}{2},\ \tfrac{y_1 + y_2}{2}\right)

d_{P,L}

= \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

\tan\theta

= \left|\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1m_2}\right|

Circunferencia

(x - h)^2 + (y - k)^2

= r^2

x^2 + y^2 + Dx + Ey + F

= 0

h

= -\tfrac D2

k

= -\tfrac E2

r

= \sqrt{h^2 + k^2 - F}

Parábola

vertical:

(x - h)^2 = 4p(y - k)

horizontal:

(y - k)^2 = 4p(x - h)

p = vértice → foco. Directriz a p del otro lado.

LR = |4p|

Elipse

\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2}

= 1

a > b

c^2

= a^2 - b^2

e

= \tfrac ca < 1

LR

= \tfrac{2b^2}{a}

El número mayor de abajo dice hacia dónde es larga.

Hipérbola

\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2}

= 1

c^2

= a^2 + b^2

e

= \tfrac ca > 1

y - k

= \pm\tfrac ba(x - h)

a² va con el signo +, aunque sea el menor.

¿Qué cónica es? (números de x² y y²)

iguales → circunferencia · mismo signo → elipse · signos opuestos → hipérbola · solo una al cuadrado → parábola

Unidad 2 Análisis de funciones

Funciones

Dominio: fuera los x que dan ÷0, √negativo o log de ≤ 0.

(f\circ g)(x) = f(g(x))

· Inversa: cambiar x ↔ y y despejar.
Par

f(-x) = f(x)

· impar

f(-x) = -f(x)

a\,f(x - h) + k

: h → derecha, k → arriba, a < 0 voltea.

Algebraicas

Grado n → a lo sumo n raíces. Grado par: extremos al mismo lado. Impar: lados opuestos.
Ruffini: probar divisores del término independiente.

Exponencial y logaritmo

\log_b a

= c

\iff b^c

= a

\log_b 1

= 0

\log_b b

= 1

\log(xy)

= \log x + \log y

\log\tfrac xy

= \log x - \log y

\log x^n

= n\log x

\log_b x

= \frac{\ln x}{\ln b}

Trigonométricas

A\sin(Bx):\ \text{amplitud } |A|

T

= \frac{2\pi}{B}

180^\circ

= \pi

Límites

1. Reemplaza. 2. Si sale

\tfrac00

, factoriza o racionaliza. 3. Reemplaza otra vez.
Existe si

\lim_{a^-} = \lim_{a^+}

.

Asíntotas y continuidad

Vertical: abajo = 0 (y arriba ≠ 0).
Horizontal: grado arriba < abajo →

y = 0

; iguales → cociente de los primeros; uno más arriba → oblicua (dividir).
Continua en a:

f(a)

existe, el límite existe y son iguales.

Unidad 3 Derivadas e integrales

Derivada

f'(x)

= \lim_{h\to0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}

Tangente:

y - f(a) = f'(a)(x - a)

Reglas

$c$	$0$	$x^n$	$nx^{n-1}$
$\sqrt x$	$\frac{1}{2\sqrt x}$	$\sin x$	$\cos x$
$e^x$	$e^x$	$\ln x$	$\frac1x$

(uv)'

= u'v + uv'

\left(\tfrac uv\right)'

= \frac{u'v - uv'}{v^2}

[f(u)]'

= f'(u)\,u'

Análisis y optimización

f' > 0

sube ·

f' < 0

baja ·

f' = 0

posible extremo

f'' < 0

máximo (∩) ·

f'' > 0

mínimo (∪) ·

f''

cambia de signo: inflexión
Optimizar: dibujo → fórmula → una sola letra → derivo = 0 → reviso.

Integrales básicas

$x^n$	$\frac{x^{n+1}}{n+1}$	$\frac1x$	$\ln\|x\|$
$e^x$	$e^x$	$\sin x$	$-\cos x$
$\cos x$	$\sin x$	$k$	$kx$

Indefinida: siempre + C.

Métodos

Sustitución:

u = g(x),\ du = g'(x)\,dx

·

\int\frac{f'}{f} = \ln|f|

\int u\,dv

= uv - \int v\,du

u se elige con ILATE: inversas, logaritmos, algebraicas, trigonométricas, exponenciales.

Integral definida y áreas

\int_a^b f(x)\,dx

= F(b) - F(a)

Entre curvas:

\int_a^b(\text{arriba} - \text{abajo})\,dx

. Bajo el eje: valor absoluto.