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Calcula la tasa de variación media de en el intervalo .
Matemáticas · Unidad 3 · Tema 15
La derivada
La derivada mide qué tan rápido cambia una función en un punto exacto. Geométricamente, es la pendiente de la recta tangente.
Primero: la pendiente de siempre
Entre dos puntos, la pendiente es cuánto sube dividido entre cuánto avanza:
Eso es la tasa de variación media. La recta que une esos dos puntos de la curva se llama secante.
★ Clave
Si recorres 120 km en 2 horas, tu velocidad media es 60 km/h. Pero el velocímetro marca la velocidad de este instante. Eso es una derivada.De la secante a la tangente
Llamemos a la distancia entre los dos puntos. Si achicamos hasta casi cero, la secante se convierte en la tangente:
h→0
La derivada es un límite
El límite del tema anterior es justo lo que hace falta: sin él, tendríamos que dividir entre cero.Cómo se calcula por definición
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Cuatro pasos, siempre los mismos
1. Calcula (donde dice x, pon x + h). 2. Resta : todo lo que no tiene h se cancela.
3. Divide entre (saca h factor común y simplifica).
4. Haz .
⚠ Ojo
Si en el paso 2 te queda algo sin h, hay un error de signo. Revisa antes de seguir.Ver ejemplo · una recta por definición
Deriva con la definición.
- Armo el cociente
- Límite
- Tiene sentido
Una recta tiene la misma pendiente en todos lados.
Para qué sirve: recta tangente
Con la derivada tienes la pendiente; con la función, el punto. Y con eso escribes la recta:
La normal es la perpendicular a la tangente en ese mismo punto. Su pendiente es .
| Si la derivada es… | La función… |
|---|---|
| positiva | sube (crece) |
| negativa | baja (decrece) |
| cero | está plana: puede ser un máximo o un mínimo |
A ver, rápido
Si , ¿cómo es la tangente en ?
Pendiente 0 = recta horizontal. Ahí la curva está “plana” (un pico o un valle).
A ver, rápido
Si , ¿cuánto vale ?
Por definición sale , entonces .
Ver ejemplo · tangente
Recta tangente a en .
- Punto→
- Pendiente
- Recta
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Usando la definición, calcula para .
Solo quiero ver la respuesta
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Usando la definición, halla para .
Solo quiero ver la respuesta
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Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a en .
Solo quiero ver la respuesta
Tangente · normal
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Usando la definición, deriva . ¿Qué significa el resultado?
Solo quiero ver la respuesta
1. Tasa de variación media
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Calcula la tasa de variación media de en el intervalo .
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Elijo la fórmula
Es la pendiente de la recta que une dos puntos de la curva:
Es lo mismo que “velocidad promedio”: cuánto cambia y por cada unidad de x.
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Reemplazo
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Dibujo la situación
La recta azul es la secante.
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Resultado
2. Derivada en un punto (por definición)
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Usando la definición, calcula para .
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Elijo la fórmula
Es la tasa media del ejercicio 1, pero con los dos puntos pegándose (h → 0).
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Reemplazo
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Desarrollo el cuadrado
Si reemplazas h = 0 aquí sale 0/0. Hay que simplificar primero.
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Simplifico
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Resultado
La recta tangente a la parábola en x = 3 tiene pendiente 6.
3. Función derivada (por definición)
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Usando la definición, halla para .
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Elijo la fórmula
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Calculo f(x + h)
Donde dice pongo :
3
Resto f(x)
Siempre se cancela todo lo que no tiene h. Si no se cancela, hay un error antes.
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Divido entre h
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Resultado
4. Recta tangente y normal
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Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a en .
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Necesito 2 cosas
Un punto y una pendiente. Después uso .
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El punto
. Punto .
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La pendiente
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Tangente
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Normal
La normal es perpendicular: su pendiente es .
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Dibujo la situación
5. Derivada de una recta
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Usando la definición, deriva . ¿Qué significa el resultado?
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Definición
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Resultado
La derivada es la pendiente. Una recta tiene la misma pendiente en todos lados: por eso da un número fijo, sin x.
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