1
Halla los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de .
Solo quiero ver la respuesta
crece en · máx · mín
Matemáticas · Unidad 3 · Tema 17
Análisis y gráfica con derivadas
La primera derivada dice si la curva sube o baja; la segunda, hacia dónde se dobla. Con las dos se dibuja cualquier gráfica.
Lo que dice cada derivada
| Si… | la curva… |
|---|---|
| sube ↗ | |
| baja ↘ | |
| se aplana: posible máximo o mínimo | |
| cóncava hacia arriba ∪ | |
| cóncava hacia abajo ∩ | |
| cambia de signo | punto de inflexión |
El orden para graficar
5
Cinco pasos
1 dominio · 2 cortes con los ejes · 3 y tabla de signos · 4 y concavidad · 5 unir los puntos.
Ver ejemplo · ¿f′ = 0 siempre es máximo o mínimo?
Mira en .
- Derivo, .
- Signoses positiva a los dos lados: sube, se aplana y sigue subiendo.
- Conclusión
No es ni máximo ni mínimo: es un punto de inflexión. Por eso siempre se revisan los signos.
A ver, rápido
Si y , en hay…
: la curva es ∩, la cima de una loma.
2
Con la segunda derivada, confirma cuál es máximo y cuál mínimo en , y halla el punto de inflexión.
Solo quiero ver la respuesta
máx en · mín en · inflexión
3
Halla dónde es cóncava hacia arriba y sus puntos de inflexión.
Solo quiero ver la respuesta
∪ en y · ∩ en · inflexión
4
Grafica usando raíces, extremos e inflexión.
Solo quiero ver la respuesta
raíces · máx · mín · inflexión
5
Halla la recta tangente a en .
Solo quiero ver la respuesta
6
Un móvil se mueve según (m, s). ¿Cuándo se detiene? ¿Qué aceleración tiene a los 3 s?
Solo quiero ver la respuesta
en s y s ·
1. Dónde sube y dónde baja
1 / 7
Halla los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de .
1
La idea
→ la curva sube. → baja. Donde puede haber un pico o un valle.
2
1. Derivo
3
2. Puntos críticos
y
4
3. Tabla de signos de f′
Pruebo x = −2, 0 y 4 en f′.
5
4. Alturas
6
Dibujo la situación
7
Resultado
máx · mín
2. Criterio de la segunda derivada
1 / 5
Con la segunda derivada, confirma cuál es máximo y cuál mínimo en , y halla el punto de inflexión.
1
Elijo la fórmula
→ máximo (curva como ∩). → mínimo (como ∪).
2
Segunda derivada
3
Reemplazo
4
Inflexión
;
Ahí la curva cambia de ∩ a ∪.
5
Resultado
inflexión
3. Concavidad
1 / 5
Halla dónde es cóncava hacia arriba y sus puntos de inflexión.
1
Derivo dos veces
2
Signos de f″
3
Reemplazo
4
Dibujo la situación
5
Resultado
inflexión en y
4. Gráfica completa
1 / 4
Grafica usando raíces, extremos e inflexión.
1
1. Raíces
2
2. Extremos
. , .
3
3. Inflexión
, .
4
Dibujo la situación
Primero pongo los puntos, después los uno con la forma que dicen los signos.
5. Recta tangente
1 / 5
Halla la recta tangente a en .
1
El punto
→
2
La pendiente
3
Elijo la fórmula
Es la fórmula punto-pendiente de la recta.
4
Dibujo la situación
5
Resultado
6. Velocidad y aceleración
1 / 5
Un móvil se mueve según (m, s). ¿Cuándo se detiene? ¿Qué aceleración tiene a los 3 s?
1
La idea
La velocidad es la derivada de la posición; la aceleración, la derivada de la velocidad.
2
Velocidad
3
Se detiene: v = 0
s y s
4
Aceleración
5
Resultado
s, s ·
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