Matemáticas · Unidad 2 · Tema 14

Asíntotas y continuidad

Las asíntotas son rectas a las que la curva se pega sin tocarlas. Continua es la que se dibuja sin levantar el lápiz.

Tres tipos de asíntota

Vertical

donde el de abajo vale 0 →

\lim = \pm\infty

Horizontal

y = \lim_{x\to\infty} f(x)

Oblicua

cuando arriba hay un grado más: se divide

Ver ejemplo · la regla de los grados

Asíntota horizontal según los grados de arriba ( $n$ ) y abajo ( $m$ ).

n < m
$y = 0$ . Ejemplo: $\dfrac{x}{x^2 + 1}$
n = m
$y =$ cociente de los números de adelante. Ejemplo: $\dfrac{4x^2}{2x^2 + 1} \to y = 2$
n = m + 1
No hay horizontal; hay oblicua (se divide).

Una función es continua en $x = a$ si cumple las tres:

f(a)\ \text{existe}

\lim_{x\to a^-} f

= \lim_{x\to a^+} f

\lim_{x\to a} f

= f(a)

Evitable

un hueco

De salto

cada lado llega a otra altura

Infinita

se va al infinito

A ver, rápido

Asíntota horizontal de

\frac{6x + 1}{2x - 5}

1. Vertical y horizontal

1 / 4

Halla las asíntotas de $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$ .

Vertical

Donde el de abajo es 0 (y el de arriba no): $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ .

Arriba en x = 3 da 7 ≠ 0: es asíntota de verdad.

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