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Dos números suman 20. ¿Cuáles son si su producto debe ser el mayor posible?
Solo quiero ver la respuesta
10 y 10
Matemáticas · Unidad 3 · Tema 18
Optimización
Encontrar el valor más grande o más chico posible: el mayor terreno, la caja con más volumen, la lata más barata.
La idea
En un máximo o un mínimo la tangente es horizontal: . Optimizar es armar la función correcta y buscar ese punto.
Ver ejemplo · el método en 4 pasos
Receta para cualquier problema de optimización.
- 1. Dibujo
Pongo letras a lo que no sé.
- 2. Ecuación de lo que quiero optimizar
Área, volumen, costo…
- 3. Dejo una sola letra
Uso el dato (perímetro, volumen fijo…) para eliminar la otra.
- 4. Derivo, igualo a 0 y reviso
Con la segunda derivada o probando valores cerca.
Errores típicos
⚠ Ojo
Si la función tiene dos letras, todavía no se puede derivar. Primero usa el dato (perímetro, volumen) para dejar una sola.✓ Truco
Revisa que la respuesta tenga sentido: una medida no puede ser negativa ni dejar la caja plana.A ver, rápido
Con 40 m de cerca, el rectángulo de mayor área mide…
Perímetro fijo → el cuadrado gana: .
2
Con 100 m de alambre quieres cercar un terreno rectangular. ¿Qué medidas dan la mayor área?
Solo quiero ver la respuesta
25 m × 25 m · 625 m²
3
Un terreno junto a un río se cerca solo por 3 lados con 120 m de alambre. ¿Qué medidas dan la mayor área?
Solo quiero ver la respuesta
30 m × 60 m · 1800 m²
4
De una lámina cuadrada de 30 cm de lado se cortan cuadrados de lado en las esquinas y se doblan los bordes. ¿Qué da el mayor volumen?
Solo quiero ver la respuesta
cm ·
5
Una lata cilíndrica debe guardar 1 litro (). ¿Qué radio usa la menor cantidad de lata?
Solo quiero ver la respuesta
cm · cm
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La ganancia de un negocio al vender unidades es (Bs). ¿Cuántas debe vender para ganar lo más posible?
Solo quiero ver la respuesta
20 unidades · 500 Bs
1. Producto máximo
1 / 5
Dos números suman 20. ¿Cuáles son si su producto debe ser el mayor posible?
1
La idea
Escribo lo que quiero hacer máximo o mínimo con una sola letra, derivo, igualo a cero y reviso.
2
1. Una sola letra
Números y . Producto:
3
2. Derivo e igualo a 0
4
¿Tiene sentido?
→ es un máximo ✓
5
Resultado
10 y 10 · producto 100
Prueba 9 · 11 = 99 y 8 · 12 = 96: el 100 gana.
2. El corral más grande
1 / 5
Con 100 m de alambre quieres cercar un terreno rectangular. ¿Qué medidas dan la mayor área?
1
1. Datos
Lados e . Perímetro: .
2
2. Área con una letra
3
3. Derivo
4
Dibujo la situación
El área como función de x: el pico está en 25.
5
Resultado
25 m × 25 m → 625 m²
El rectángulo de mayor área con un perímetro fijo es el cuadrado.
3. Corral junto a un río
1 / 4
Un terreno junto a un río se cerca solo por 3 lados con 120 m de alambre. ¿Qué medidas dan la mayor área?
1
1. Datos
Dos lados (perpendiculares al río) y uno : .
2
2. Área
3
3. Derivo
4
Resultado
30 m × 60 m → 1800 m²
Ahora no sale cuadrado: el río ahorra un lado.
4. La caja sin tapa
1 / 6
De una lámina cuadrada de 30 cm de lado se cortan cuadrados de lado en las esquinas y se doblan los bordes. ¿Qué da el mayor volumen?
1
1. Medidas de la caja
Base: por . Altura: .
2
2. Volumen
3
3. Derivo (producto)
4
4. Igualo a 0
(no sirve: la caja sería plana) o .
5
Reemplazo
6
Resultado
cm ·
5. La lata más económica
1 / 5
Una lata cilíndrica debe guardar 1 litro (). ¿Qué radio usa la menor cantidad de lata?
1
Saco los datos
Superficie:
2
Una sola letra
3
Derivo
4
Reemplazo
5
Resultado
cm · cm
La altura sale igual al diámetro.
6. Ganancia máxima
1 / 3
La ganancia de un negocio al vender unidades es (Bs). ¿Cuántas debe vender para ganar lo más posible?
1
Derivo
2
Reemplazo
3
Resultado
20 unidades → 500 Bs
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