Matemáticas · Unidad 3 · Tema 20

Sustitución y por partes

Dos técnicas para cuando la tabla no alcanza: cambiar de variable (sustitución) e integrar por partes.

Sustitución

Es la regla de la cadena al revés. Sirve cuando dentro de la integral está una función y su derivada.

∫f(g(x)) g′(x) dx\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=∫f(u) du= \int f(u)\,duuu=g(x)= g(x)
Si ves…Prueba
2x (x2+1)52x\,(x^2 + 1)^5u=x2+1u = x^2 + 1
x ex2x\,e^{x^2}u=x2u = x^2
f′(x)f(x)\frac{f'(x)}{f(x)}da ln⁡∣f(x)∣\ln|f(x)|

Por partes

Para el producto de dos funciones de tipos distintos (polinomio por exponencial, por seno, logaritmos…).

∫u dv\int u\,dv=u v−∫v du= u\,v - \int v\,du
Ver ejemplo · cómo elegir u en por partes

Orden de preferencia para u (la que se deriva): ILATE.

  1. I

    Inversas trigonométricas

Ver ejemplo · por partes dos veces
∫x2ex dx\int x^2 e^x\,dx
  1. Primera vez
    u=x2u = x^2, dv=exdxdv = e^x dx: x2ex−∫2xex dxx^2e^x - \int 2x e^x\,dx
A ver, rápido
Para ∫xsin⁡x dx\int x\sin x\,dx conviene elegir…
A ver, rápido
∫2xx2+5 dx=\int\frac{2x}{x^2 + 5}\,dx =
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