Matemáticas · Unidad 2 · Tema 12

Tramos y transformaciones

Cada tipo de función tiene su forma. Si reconoces la forma, ya sabes la mitad de cualquier ejercicio.

La galería

Lineal

f(x) = mx + b

Una recta. m es la pendiente, b donde corta al eje y.

Cuadrática

f(x) = ax^2 + bx + c

Una parábola. Si a > 0 abre arriba; si a < 0, abajo.

Cúbica

f(x) = x^3

Sube, se aplana y vuelve a subir.

Racional

f(x) = \frac{1}{x}

Tiene asíntotas: rectas a las que se acerca sin tocarlas.

Irracional

f(x) = \sqrt{x}

Empieza donde lo de adentro es 0.

Exponencial

f(x) = 2^x

Crece cada vez más rápido. Nunca toca el eje x.

Logarítmica

f(x) = \log_2 x

La inversa de la exponencial. Solo existe para x > 0.

Seno

f(x) = \sin x

Una ola que se repite cada 2π. Va entre −1 y 1.

Valor absoluto

f(x) = |x|

Una V. Todo lo negativo se vuelve positivo.

Parte entera

f(x) = \lfloor x \rfloor

Escalones. Redondea siempre hacia abajo.

Si conoces la forma básica, puedes dibujar $a\cdot f(x - h) + k$ moviéndola:

⚠ Ojo

h

va al revés de lo que parece:

(x - 3)

se mueve a la derecha y

(x + 3)

a la izquierda.

Ver ejemplo · dibujar sin tabla

¿Dónde queda el vértice de $y = (x - 3)^2 + 1$ ? ¿Y la punta de $y = -|x| + 2$ ?

Parábola
$x^2$ movida 3 a la derecha y 1 arriba: vértice $(3,\,1)$ .
Valor absoluto
El signo menos la voltea (∧) y el $+2$ la sube: punta en $(0,\,2)$ .

Una función por tramos usa una regla distinta según dónde esté x. Antes de reemplazar, siempre pregunta: ¿en qué tramo estoy?

|x|

= \begin{cases} x & x \geq 0 \\ -x & x < 0 \end{cases}

A ver, rápido

f(x) = \begin{cases} 2x & x < 0 \\ x^2 & x \geq 0 \end{cases}

, ¿cuánto es

f(-3)

A ver, rápido

¿Hacia dónde se mueve

y = (x + 2)^2

respecto a

y = x^2

Ver ejemplo · por tramos y parte entera

f(x) = \begin{cases} x + 1 & x < 1 \\ 3 & x \geq 1 \end{cases}

. Halla

f(0)

f(1)

\lfloor 2{,}7\rfloor

\lfloor -1{,}2\rfloor

f(0)
$0 < 1$ → primer tramo: $0 + 1 = 1$
f(1)
$1 \geq 1$ → segundo tramo: $3$
Parte entera
$\lfloor 2{,}7\rfloor = 2$ · $\lfloor -1{,}2\rfloor = -2$
Siempre hacia abajo: con negativos baja a −2, no sube a −1.

1. Función cuadrática

1 / 4

Para $f(x) = x^2 - 4x + 3$ halla el vértice, los cortes con los ejes y grafica.

Vértice

x_v

= -\frac{b}{2a}

= -\frac{-4}{2(1)}

= 2

y_v

= f(2)

= 4 - 8 + 3

= -1

→ siguiente paso · ← atrás · 1 2 3 pestañas · Esc salir