Matemáticas · Unidad 3 · Tema 21

Integral definida y áreas

La integral definida es un número: el área entre la curva y el eje x en un intervalo. Con esto termina la matemática de sexto.

Área con rectángulos

Se parte el intervalo en nn rectángulos, se suman sus áreas y se hace n→∞n \to \infty.

Llena el área con rectángulos

∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx=lim⁡n→∞∑i=1nf(xi) Δx= \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x

Regla de Barrow

No hace falta sumar rectángulos: basta con una primitiva.

∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx=[F(x)]ab= \Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)−F(a)= F(b) - F(a)
xy1231234ab
⚠ Ojo
Si la curva está debajo del eje, la integral da negativo. Para el área se separa donde cruza y se toma el valor absoluto.
★ Clave
Área entre dos curvas: ∫ab(arriba−abajo) dx\int_a^b(\text{arriba} - \text{abajo})\,dx.
Ver ejemplo · propiedades

Tres propiedades que ahorran trabajo.

  1. Mismo límite
    ∫aaf dx=0\int_a^a f\,dx = 0
A ver, rápido
∫013x2 dx=\int_0^1 3x^2\,dx =
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