Matemáticas · Unidad 3 · Tema 16

Reglas para derivar

La definición funciona siempre, pero es larga. Estas reglas dan el mismo resultado en una línea.

La regla que más vas a usar

(x^n)'

= n\,x^{n-1}

✓ Truco

Raíces y fracciones también son potencias:

\sqrt x = x^{1/2}

\frac1{x^3} = x^{-3}

. Conviértelas primero y aplica la misma regla.

Reglas para combinar funciones

Cuando la función está armada con sumas, multiplicaciones, divisiones o una dentro de otra. Abre el ejemplo de la que necesites.

lo que estoy derivandola derivada de lo de adentro

Suma y resta

(u \pm v)' = u' \pm v'

Ver ejemplo · suma y resta

Deriva $f(x) = x^3 + 5x^2 - 7x + 2$

Se deriva término por término
$f'(x)$ $= (x^3)' + (5x^2)' - (7x)' + (2)'$
Cada pedazo por su lado, y se respetan los signos.
Primer término
$\colorbox{#fde7dd}{$x^3$} \to 3x^2$
Segundo
$\colorbox{#fde7dd}{$5x^2$} \to 5\cdot 2x$ $= 10x$
Tercero y cuarto
$\colorbox{#fde7dd}{$-7x$} \to -7$ $\colorbox{#fde7dd}{$2$} \to 0$
Un número solo (constante) siempre se deriva a 0.
Junto todo
$f'(x) = 3x^2 + 10x - 7$

Número por función

(c\cdot u)' = c\cdot u'

Ver ejemplo · número por función

Deriva a) $f(x) = 6x^5$ · b) $g(x) = 4\sqrt{x}$

La idea
El número que multiplica espera afuera: se deriva solo la función y al final se multiplica.
a)
$6\cdot \colorbox{#fde7dd}{$x^5$}'$ $= 6\cdot 5x^4$ $= 30x^4$
b) primero la raíz como potencia
$4\sqrt x$ $= 4\,x^{1/2}$
b) derivo
$4\cdot \colorbox{#fde7dd}{$x^{1/2}$}'$ $= 4\cdot\tfrac12 x^{-1/2}$ $= \frac{2}{\sqrt x}$
Resultado
$30x^4$ · $\dfrac{2}{\sqrt x}$

Producto

(u\cdot v)' = u'\,v + u\,v'

Ver ejemplo 1 · producto de polinomios

Deriva $f(x) = (3x + 1)(x^2 - 2)$

Nombro las partes
$u = 3x + 1 \Rightarrow u' = 3$
$v = x^2 - 2 \Rightarrow v' = 2x$
“El primero derivado por el segundo…”
$\colorbox{#fde7dd}{$u'$}\,v$ $= 3\,(x^2 - 2)$
“…más el primero por el segundo derivado”
$u\,\colorbox{#fde7dd}{$v'$}$ $= (3x + 1)\,2x$
Sumo y simplifico
$f'(x)$ $= 3x^2 - 6 + 6x^2 + 2x$
$f'(x) = 9x^2 + 2x - 6$
Comprobación: si multiplicas primero, (3x+1)(x²−2) = 3x³ + x² − 6x − 2, y su derivada da lo mismo.

Ver ejemplo 2 · producto con seno

Deriva $f(x) = x^2\sin x$

Partes
$u = x^2 \Rightarrow u' = 2x$
$v = \sin x \Rightarrow v' = \cos x$
Aplico la regla
$f'(x)$ $= \colorbox{#fde7dd}{$2x$}\sin x + x^2 \colorbox{#fde7dd}{$\cos x$}$
Resultado
$f'(x) = 2x\sin x + x^2\cos x$
Aquí no se puede multiplicar antes: por eso existe la regla del producto.

Cociente

\left(\frac uv\right)' = \frac{u'\,v - u\,v'}{v^2}

Ver ejemplo 1 · cociente de polinomios

Deriva $f(x) = \dfrac{2x + 3}{x^2 + 1}$

Partes
$u = 2x + 3 \Rightarrow u' = 2$
$v = x^2 + 1 \Rightarrow v' = 2x$
Arriba: derivo el de arriba primero
$\frac{\colorbox{#fde7dd}{$u'v$} - \colorbox{#fde7dd}{$uv'$}}{v^2}$ $= \frac{2(x^2 + 1) - (2x + 3)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$
El orden importa por el menos. Empieza SIEMPRE con la derivada de arriba.
Multiplico arriba
$\frac{2x^2 + 2 - 4x^2 - 6x}{(x^2 + 1)^2}$
Resultado
$f'(x) = \dfrac{-2x^2 - 6x + 2}{(x^2 + 1)^2}$
El denominador se deja así, al cuadrado. No hace falta desarrollarlo.

Ver ejemplo 2 · cociente con seno

Deriva $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$

Partes
$u = \sin x \Rightarrow u' = \cos x$
$v = x \Rightarrow v' = 1$
Aplico
$f'(x)$ $= \frac{\colorbox{#fde7dd}{$\cos x$}\cdot x - \sin x\cdot \colorbox{#fde7dd}{$1$}}{x^2}$
Resultado
$f'(x) = \dfrac{x\cos x - \sin x}{x^2}$

Cadena

[f(u)]' = f'(u)\cdot u'

Ver ejemplo 1 · potencia de un paréntesis

Deriva $f(x) = (x^2 + 3x)^4$

Veo las dos capas
Afuera: algo a la cuarta, $(\;\;)^4$ . Adentro: $u = x^2 + 3x$ .
Derivo la capa de afuera (lo de adentro no se toca)
$\colorbox{#fde7dd}{$4\,(x^2 + 3x)^3$}$
Multiplico por la derivada de adentro
$u'$ $= \colorbox{#e2ecfd}{$2x + 3$}$
Resultado
$f'(x) = 4\,(x^2 + 3x)^3\,(2x + 3)$
El error típico es olvidarse del (2x + 3) del final.

Ver ejemplo 2 · raíz de una función

Deriva $f(x) = \sqrt{5x - 1}$

Capas
Afuera: raíz. Adentro: $u = 5x - 1$ , y $u' = 5$ .
Regla de la raíz
$(\sqrt u)'$ $= \frac{\colorbox{#e2ecfd}{$u'$}}{2\sqrt u}$
Reemplazo
$f'(x)$ $= \frac{\colorbox{#e2ecfd}{$5$}}{2\sqrt{5x - 1}}$
Resultado
$f'(x) = \dfrac{5}{2\sqrt{5x - 1}}$

⚠ Ojo

La derivada de un producto no es el producto de las derivadas.

(x\cdot x)' = 2x

, pero

1\cdot 1 = 1

Tabla de derivadas

Función	Derivada	Con cadena (u es una función)
$c$	$0$	—
$x$	$1$	—
$x^n$	$n\,x^{n-1}$	$n\,u^{n-1}\,u'$
$\sqrt x$	$\frac{1}{2\sqrt x}$	$\frac{u'}{2\sqrt u}$
$\frac1x$	$-\frac{1}{x^2}$	$-\frac{u'}{u^2}$
$e^x$	$e^x$	$e^u\,u'$
$a^x$	$a^x\ln a$	$a^u\ln a\;u'$
$\ln x$	$\frac1x$	$\frac{u'}{u}$
$\log_a x$	$\frac{1}{x\ln a}$	$\frac{u'}{u\ln a}$
$\sin x$	$\cos x$	$\cos u\;u'$
$\cos x$	$-\sin x$	$-\sin u\;u'$
$\tan x$	$\sec^2 x$	$\sec^2 u\;u'$

Doce filas

La columna de la derecha es la misma de la izquierda multiplicada por

u'

. Si sabes la izquierda, ya sabes la derecha.

Más reglas básicas, con ejemplo

Constante

(c)' = 0

Ver ejemplo · constante

Deriva $f(x) = 7 + \pi^2$

¿Hay x?
No. $7 + \pi^2$ es solo un número (aunque tenga $\pi$ ).
Resultado
$f'(x) = 0$
Un número no cambia, y la derivada mide cambio.

Potencias con exponente negativo o fraccionario

(x^n)' = n\,x^{n-1}\ \text{(para cualquier } n\text{)}

Ver ejemplo · 1/x y raíz cúbica

Deriva a) $f(x) = \dfrac1x$ · b) $g(x) = \sqrt[3]{x}$

Paso todo a potencia
$\frac1x$ $= x^{-1}$ $\sqrt[3]{x}$ $= x^{1/3}$
a)
$(x^{\colorbox{#fde7dd}{$-1$}})'$ $= -1\cdot x^{-2}$ $= -\frac{1}{x^2}$
b)
$(x^{\colorbox{#fde7dd}{$1/3$}})'$ $= \tfrac13\,x^{\frac13 - 1}$ $= \tfrac13\,x^{-2/3}$ $= \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$
1/3 − 1 = −2/3. Resta de fracciones con cuidado.

Exponencial de base e

(e^u)' = e^u\cdot u'

Ver ejemplo · e elevado a una función

Deriva $f(x) = e^{x^2}$

La e se queda igual
$\colorbox{#fde7dd}{$e^{x^2}$}$
Por la derivada del exponente
$u$ $= x^2$ $\Rightarrow u'$ $= \colorbox{#e2ecfd}{$2x$}$
Resultado
$f'(x) = 2x\,e^{x^2}$
Es la única función que al derivarla queda casi igual: por eso e es tan famosa.

Exponencial de otra base

(a^u)' = a^u\,\ln a\cdot u'

Ver ejemplo · 2ˣ y 3²ˣ

Deriva a) $f(x) = 2^x$ · b) $g(x) = 3^{2x}$

a)
$f'(x)$ $= 2^x\,\colorbox{#fde7dd}{$\ln 2$}$
Igual que la de e, pero aparece el ln de la base.
b) con cadena
$u = 2x$ , $u' = \colorbox{#e2ecfd}{$ 2 $}$ :
$g'(x)$ $= 3^{2x}\,\ln 3\cdot \colorbox{#e2ecfd}{$2$}$
Resultado
$2^x\ln 2$ · $2\cdot 3^{2x}\ln 3$

Logaritmo natural

(\ln u)' = \frac{u'}{u}

Ver ejemplo · ln de una función

Deriva a) $f(x) = \ln(3x)$ · b) $g(x) = \ln(x^2 + 4)$

La regla en palabras
“La derivada de lo de adentro, dividida entre lo de adentro.”
a)
$\frac{\colorbox{#e2ecfd}{$3$}}{3x}$ $= \frac1x$
El 3 se simplifica. Curioso: ln(3x) y ln x tienen la misma derivada.
b)
$\frac{\colorbox{#e2ecfd}{$2x$}}{x^2 + 4}$
Resultado
$\dfrac1x$ · $\dfrac{2x}{x^2 + 4}$

Logaritmo de otra base

(\log_a u)' = \frac{u'}{u\,\ln a}

Ver ejemplo · log₂ x

Deriva $f(x) = \log_2 x$

Aplico
$u = x$ , $u' = 1$ :
$f'(x)$ $= \frac{1}{x\,\colorbox{#fde7dd}{$\ln 2$}}$
Resultado
$f'(x) = \dfrac{1}{x\ln 2}$

Seno y coseno

(\sin u)' = \cos u\cdot u' \qquad (\cos u)' = -\sin u\cdot u'

Ver ejemplo · seno y coseno con cadena

Deriva a) $f(x) = \sin(3x + 1)$ · b) $g(x) = \cos(x^2)$

a) seno → coseno
$f'(x)$ $= \cos(3x + 1)\cdot \colorbox{#e2ecfd}{$3$}$ $= 3\cos(3x + 1)$
b) coseno → menos seno
$g'(x)$ $= \colorbox{#fde7dd}{$-\sin(x^2)$}\cdot \colorbox{#e2ecfd}{$2x$}$ $= -2x\sin(x^2)$
El signo menos solo aparece al derivar el coseno.

Tangente

(\tan u)' = \sec^2 u\cdot u' = \frac{u'}{\cos^2 u}

Ver ejemplo · tangente

Deriva a) $f(x) = \tan x$ · b) $g(x) = \tan(2x)$

a)
$f'(x)$ $= \sec^2 x$ $= \frac{1}{\cos^2 x}$
b) con cadena
$g'(x)$ $= \sec^2(2x)\cdot \colorbox{#e2ecfd}{$2$}$ $= 2\sec^2(2x)$

f''

Derivadas sucesivas

Derivar otra vez la derivada.

f(x) = x^4 \to f'(x) = 4x^3 \to f''(x) = 12x^2

A ver, rápido

Deriva

f(x) = 7x^3 - 2x + 9

A ver, rápido

Deriva

(2x + 1)^3

A ver, rápido

Deriva

\ln(x^2)

1. Potencias y polinomios

1 / 4

Deriva: a) $f(x) = 5x^4$ · b) $g(x) = 3x^2 - 4x + 7$

Elijo la fórmula

(x^n)'

= n\,x^{n-1}

(c)'

= 0

El exponente baja a multiplicar y al exponente se le resta 1.

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