Matemáticas · Unidad 2 · Tema 13

Límites

El límite es a qué valor se acerca f(x) cuando x se acerca a un número. Es la herramienta que hace posible la derivada.

Acercarse sin llegar

lim⁡x→af(x)\lim_{x\to a} f(x)=L= L

Se lee: “cuando x se acerca a aa, f(x) se acerca a LL”. No importa qué pasa justo en aa: importa lo que pasa cerca.

Acércate a x = 1 sin tocarlo

La función es f(x) = (x² − 1) / (x − 1). En x = 1 da 0/0: ahí hay un hueco.

Límites laterales

Se puede llegar a aa por la izquierda (x→a−x\to a^-) o por la derecha (x→a+x\to a^+).

★ Clave
El límite existe solo si los dos laterales dan lo mismo.

Cómo se calcula: el camino de siempre

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Tres pasos
1. Reemplaza el número. Si sale un número, ese es el límite.
2. Si sale 00\frac00, factoriza (o racionaliza si hay raíces) y simplifica.
3. Reemplaza otra vez.
Si al reemplazar sale…Entonces…
un númeroese es el límite
00\frac{0}{0}factoriza o racionaliza
nuˊmero0\frac{\text{número}}{0}tiende a ±∞\pm\infty: hay asíntota vertical
∞∞\frac{\infty}{\infty} (con x→∞x\to\infty)compara los grados
⚠ Ojo
00\frac00 no es 0, ni 1, ni “no existe”. Es una indeterminación: te avisa que hay que hacer algo más.
Ver ejemplo · factorizar
lim⁡x→2x2−4x−2\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^2 - 4}{x - 2}
  1. Reemplazo
    00\frac{0}{0}: hay que simplificar.
Ver ejemplo · racionalizar
lim⁡x→0x+9−3x\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}
  1. Multiplico por el conjugado
    (x+9−3)(x+9+3)x(x+9+3)=xx(x+9+3)\dfrac{(\sqrt{x + 9} - 3)(\sqrt{x + 9} + 3)}{x(\sqrt{x + 9} + 3)} = \dfrac{x}{x(\sqrt{x + 9} + 3)}

Al infinito y asíntotas

Cuando x→∞x\to\infty en una fracción de polinomios, solo mandan los términos con la potencia más grande:

Grado arriba = abajo
límite = cociente de los coeficientes
Grado abajo mayor
límite = 0
Grado arriba mayor
límite = ∞

Asíntota vertical: donde el denominador se hace 0. Asíntota horizontal: el límite cuando x→∞x\to\infty.

Ver ejemplo · al infinito

a) lim⁡x→∞3x2+1x2−2x\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2 + 1}{x^2 - 2x} · b) lim⁡x→∞2xx2+1\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{x^2 + 1}

  1. a) mismo grado

    Manda el de mayor grado: 3x2x2=3\frac{3x^2}{x^2} = 3

Continuidad

Una función es continua en aa si la puedes dibujar sin levantar el lápiz. Pide 3 condiciones: que f(a)f(a) exista, que el límite exista y que los dos sean iguales.

Continua
xy-11234-11234
Con hueco
xy-11234-11234El límite existe, f(2) no.
Con salto
xy-11234-11234Los laterales no coinciden.
A ver, rápido
lim⁡x→4x2−16x−4\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{x^2 - 16}{x - 4} es…
A ver, rápido
lim⁡x→∞5x3−x2x3+7\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{5x^3 - x}{2x^3 + 7} es…
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